Πως προκύπτουν οι Κλίμακες της Β.Μ. από τον Μείζονα Τόνο 9/8

Γενική συζήτηση για θέματα κλιμάκων, συγκερασμών, κτλ.
Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Παναγιώτης
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: 07 Φεβ 2008, 05:43

Πως προκύπτουν οι Κλίμακες της Β.Μ. από τον Μείζονα Τόνο 9/8

Δημοσίευση από Παναγιώτης » 06 Μαρ 2014, 19:33

Αγαπητοί φίλοι,

σας παραθέτω ένα άρθρο μου που μόλις τελείωσα την πρόχειρη (draft) έκδοσή του. Συγχωρείστε με για τυχόν αβλεψίες.

Δεν έχω υπ'όψιν μου παρόμοια εργασία. Αν μου υποδειχθεί παρόμοια εργασία, ευχαρίστως να κάνω όποιες απαραίτητες αλλαγές.


Πῶς προκύπτουν ὅλες οἱ κλίμακες τῆς Βυζαντινῆς Μουσικῆς ἀπὸ τὸν Μείζονα Τόνο
Μέρος τῆς ἐργασίας «Μέθοδος Δημιουργίας Κλιμάκων», [1]


Δρ. Παναγιώτης Δ. Παπαδημητρίου

πρώτη πρόχειρη ἔκδοση 0.9, 6/3/2014
τρέχουσα πρόχειρη ἔκδοση 0.9, 6/3/2014.
τοποθεσία ἄρθρου: http://psaltiki.gr/articles/papadimitri ... itriou.pdf ( http://psaltiki.gr/articles/papadimitri ... u-v0p9.pdf )

(το άρθρο έχει επίσης συναφθεί στο παρόν, και προτείνεται να το δείτε στο επισυναφθέν για καλύτερη ανάγνωση)
016e-klimakes-meizwn-papadimitriou-v0p9.pdf

1. Γενικά

Σὲ αὐτὸ τὸ ἄρθρο (ποὺ εἶναι ἀκόμη σε πρόχειρη μορφή), θὰ παρουσιάσουμε πῶς δημιουργούνται ὅλες οἱ κλίμακες τῆς Βυζαντινῆς Μουσικῆς ἀπὸ τὸν μείζονα τόνο.
Θὰ ἀρχίσουμε μὲ τὴν ἁπλὴ κατασκευὴ τοῦ διατονικοῦ τετραχόρδου βάσει τοῦ μείζονος τόνου, καὶ μετὰ θὰ παρουσιάσουμε τὴν γενικὴ μορφὴ τῶν κλιμάκων βάσει τῶν τόνων τοῦ διατονικοῦ τετραχόρδου, σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο «Μέθοδος Δημιουργίας Κλιμάκων», [1]



2. Μείζων Τόνος καὶ Τετράχορδο

Ἀρχίζουμε ἀπὸ τὸ διατονικὸ γένος ὡς τὸ πιό εὔκολο. Τὸ διατονικό τετράχορδο, ὡς γνωστόν, ἀποτελεῖται ἀπὸ τρεῖς τόνους τὸν μείζονα (τὸν μεγαλύτερο), τὸν ἐλάσσονα (τὸν μικρό), καὶ τὸν ἐλάχιστο τόνο. Ὅπως λέει και ἡ ὀνομασία τους ἀριθμητικὰ ὁ μείζων τόνος εἶναι μεγαλύτερος τοῦ ἐλάσσονα, ὁ ὁποῖος μὲ τὴν σειρά του εἶναι μεγαλύτερος τοῦ ἐλαχίστου.
Ὡς γνωστόν ὁ κύριος μείζων τόνος ποὺ χρησιμοποιεῖται στὴν μουσική μας εἶναι ὁ 9/8. Ἔστω ὅτι ὁ 9/8 εἶναι ὁ Νη-Πα (d1):

d1 = 9/8.

Ὁ ἐλάσσων τόνος καὶ ὁ ἐλάχιστος θὰ ὑπολογιστοῦν βάσει τοῦ μείζονος τόνου.
Ἡ μεγαλύτερη δυσκολία τοῦ διατονικοῦ τετραχόρδου, ποὺ ἀπασχόλησε ὅλους τοὺς θεωρητικούς τῶν ἐποχῶν, ἀκόμη καὶ τὴν Ἐπιτροπὴ τοῦ Οἰκουμενικοῦ Πατριαρχείου τοῦ 1881 [2] εἶναι τὸ ὕψος τοῦ Βου, τοῦ ἐλάσσονος δηλ. τόνου Πα-Βου.
Ἔστω ὅτι ὁ Πα-Βου, εἶναι

d2 = d1 / a.

Τὰ μήκη τῶν χορδῶν τῶν ἄκρων τῶν τετραχόρδων στὴν Βυζαντινὴ Μουσικὴ ἔχουν ὡς γνωστόν διαφορά (καταχρηστικὰ λέγεται διαφορὰ ἡ διαίρεση κλασμάτων)

t = 4/3.

Συνεπῶς ὁ ἐλάχιστος τόνος τοῦ τετραχόρδου Βου-Γα ὑπολογίζεται ὡς

d3 = t / d1 / d2 (= t‧a/d1^2)

ὑπὸ τὴν προϋπόθεση,

a > 1 : (d1/a) > d3, (1)

δηλ. ὁ a εἶναι τέτοιος ὥστε νὰ εἶναι μεγαλύτερος τοῦ 1, καί νὰ ἰσχύει d2 > d3. Ἡ προϋπόθεση εἶναι ἀναγκαῖα ὥστε ὁ μείζων νὰ εἶναι μεγαλύτερος τοῦ ἐλάσσονος καὶ αὐτὸς μεγαλύτερος τοῦ ἐλαχίστου.
Ἄρα δοθέντος τοῦ a τὸ τετράχορδο d1-d2-d3 σχηματίστηκε πλήρως. Τί τιμὲς ὅμως a μποροῦμε νὰ βάλουμε ποὺ νὰ πληροῦν τὴν προϋπόθεση (1); Θεωρητικὰ ὅτι θέλουμε...
Ἡ καθιερωμένη ὅμως θεωρία στὴν Βυζαντινὴ Μουσικὴ εἶναι αὐτὴ τῆς Ἐπιτροπῆς 1881 [2]. Ἡ Ἐπιτροπή ἔχει a = (81/80)^2. Στὸν πίνακα 1, ἀριθμοῦνται μερικά a:



Πίνακας 1. Διάφορες ἐνδεικτικὲς τιμές τῆς παραμέτρου a.

Πηγή
Τιμή a
Σχόλιο

Χρύσανθος [3]
33/32 = 1.03125

Εἶς ἐκ τῶν Τριῶν Δασκάλων

Ἐπιτροπή 1881 [2]
(81/80)2 = 1.02515625

καθιερωμένη θεωρία Β.Μ.

Δίδυμος
81/80 = 1.0125

γιὰ σύγκριση

Εἶναι ἄξιο νὰ παρατηρήσουμε ὅτι 33/32 > (81/80)^2 > 81/80, καὶ συνεπῶς ὁ χαμηλότερος Βου (d2 = d1/a) εἶναι τοῦ Χρυσάνθου, ὁ ὑψηλότερος Βου εἶναι τοῦ Διδύμου, καὶ ἡ Ἐπιτροπὴ εἶναι κάπου στὸ μέσον αὐτῶν.

Μέχρι στιγμῆς εἴδαμε πῶς προκύπτει τὸ τετράχορδο ἀπὸ τὸν μείζονα τόνο:

(d1-d2-d3) ἢ (d1 - d1/a - t‧a/d1^2).

Γιὰ τὴν Ἐπιτροπή [2]:

d2 = d1/a = 9/8 / (81/80)2 = 800/729
d3 = 4/3 / (9/8) / d2 = 27/25

Γιὰ τὸν Χρύσανθο [3]:

d2 = d1/a = 9/8 / (33/32) = 12/11
d3 = 4/3 / (9/8) / d2 = 88/81


Γιὰ τὸν Δίδυμο (παρατίθεται γιὰ σύγκριση):

d2 = d1/a = 9/8 / (81/80) = 10/9
d3 = 4/3 / (9/8) / d2 = 16/15



3. Πῶς προκύπτουν οἱ κλίμακες τῆς Βυζαντινῆς Μουσικῆς

Ἡ διατονική προκύπτει εὔκολα, καθὼς ἀποτελεῖται ἀπὸ δύο ὅμοια τετράχορδα διαζευγμένα μετὰ τοῦ μείζονος τόνου:

α. Διατονική

d3
d2
d1
d1
d3
d2
d1


ὅπου οἱ τιμὲς τῶν d1, d2, d3 ὡς ἀνωτέρω. Οἱ συγκερασμοὶ αὐτῶν τῶν τριῶν διατονικῶν κλιμάκων δίνονται στό [9].



β. Δευτέρου Ἤχου

Σύμφωνα μὲ τὴν Μέθοδο [1], ἠ κλίμακα τοῦ Β’ ἤχου δίνεται ὡς ἐξῆς:

d3
d2‧(d1/d3)
d3
d1
d3
d2‧(d1/d3)
d3


Γιὰ τὴν Ἐπιτροπή [2]:

d2‧(d1/d3) = 2500/2187

Γιὰ τὸν Χρύσανθο [4]:

d2‧(d1/d3) = 2187/1936

Γιὰ τὸν Δίδυμο (παρατίθεται γιὰ σύγκριση):

d2‧(d1/d3) = 75/64

Αὐτὴν τὴν κλίμακα δίνει ὁ Ἄγγ. Κ. Δεβρελῆς [5].

Οἱ συγκερασμοὶ αὐτῶν τῶν τριῶν κλιμάκων δίνονται στά [10], [4]. Ἐδὼ θὰ θέλαμε νὰ κάνουμε μιὰ παρατήρηση γιὰ τὴν «ὅμοια διφωνία». Οἱ ἀνωτέρω κλίμακες συγκερασμένες στὰ 72 ἔχουν ὡς ἐξῆς ἀντίστοιχα:


Χρύσανθος: 9-12-9-12-9-12-9
Ἐπιτροπή: 8-14-8-12-8-14-8
Δίδυμος: 7-16-7-9-7-16-7


Παρατηροῦμε δηλ. ὅτι ὅσο ψηλώνει ὁ Βού πάνω ἀπὸ τὸν Βού τοῦ Χρυσάνθου, τόσο περισσότερο «χαλάει» ἡ «ὅμοια διφωνία». Ἔχει αὐτὸ σχέση μὲ τὴν ἐπιλογὴ τοῦ Βού ἀπὸ τὸν Χρύσανθο;



γ. Πλαγίου Δευτέρου Ἤχου

Σύμφωνα μὲ τὴν Μέθοδο [1], δημιουργούνται δύο κλίμακες γιὰ τὴν περίπτωση τοῦ πλαγίου Β’.

Ἡ πρώτη εἶναι:

d1/d3
d1‧d3
d2/(d1/d3)
d1
d1/d3
d1‧d3
d2/(d1/d3)


Καὶ ἡ δεύτερη εἶναι:

d1/d3
d2‧d3
d3
d1
d1/d3
d2‧d3
d3


Γιὰ τὴν Ἐπιτροπή [2], [6] (ἡ Ἐπιτροπὴ χρησιμοποιεῖ τὴν πρώτη κλίμακα):

d1/d3 = 25/24
d1‧d3 = 243/200
d2/(d1/d3) = 256/243

Γιὰ τὸν Χρύσανθο [6] (ὁ Χρύσανθος χρησιμοποιεῖ τὴν δεύτερη κλίμακα):

d1/d3 = 729/704
d2‧d3 = 32/27

Γιὰ τὸν Δίδυμο:

Ἡ πρώτη:

d1/d3 = 135/128
d1‧d3 = 6/5
d2/(d1/d3) = 256/243

Τὴν πρώτη αὐτὴ κλίμακα δίνει ὁ Μιχ. Χατζηαθανασίου [7].

Ἡ δεύτερη:

d1/d3 = 135/128
d2‧d3 = 32/27

Τὴν δεύτερη αὐτὴ κλίμακα δίνει ὁ Ἀβ. Εὐθυμιάδης [8].

Οἱ συγκερασμοὶ αὐτῶν τῶν τριῶν κλιμάκων δίνονται στά [11], [6].


δ. Ἑναρμόνιος

Σύμφωνα μὲ τὴν Μέθοδο [1], ἠ ἑναρμόνια κλίμακα (Νη-Βου’) κατὰ τριφωνίαν ὁμοία ἔχει ὡς ἐξῆς:

d2/(d1/d3)
d1
d1
d2/(d1/d3)
d1
d1
d2/(d1/d3)
d1
d1


Γιὰ τὴν Ἐπιτροπή [2]:

d2/(d1/d3) = 256/243

Γιὰ τὸν Χρύσανθο [13]:

d2/(d1/d3) = 256/243

Γιὰ τὸν Δίδυμο (παρατίθεται γιὰ σύγκριση):

d2/(d1/d3) = 256/243

Στὴν ἐναρμόνια κλίμακα παρατηροῦμε πλήρη συμφωνία, διότι ὁ ὅρος d2/(d1/d3) ἐξαρτᾶται μόνο ἀπὸ τὸν μείζονα τόνο (καὶ τό t=4/3):

d2/(d1/d3) = t/ d1^2
.

Οἱ συγκερασμοὶ τῆς ἐναρμόνιας κλίμακας δίνονται στό [12].


4. Ἐπίλογος

Μὲ βάση τὸν μείζονα τόνο, παρουσιάσαμε τὴν δημιουργία ὅλων τῶν κλιμάκων τῆς Βυζαντινῆς Μουσικῆς, σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο «Μέθοδος Δημιουργίας Κλιμάκων», [1]. Στὴν οὐσία, ἂν δεχθοῦμε ὅτι ὁ διατονικὸς μείζων τόνος Νη-Πα εἶναι πάντα 9/8, καὶ τὸ τετράχορδο 4/3, παρουσιάσαμε τὴν δημιουργία ὅλων τῶν κλιμάκων βάσει μόνο τῆς παραμέτρου a ποὺ εἶναι ἡ διαφορὰ τοῦ ἐλάσσονα ἀπὸ τὸν μείζονα τόνο! Ἐπίσης ἀναφέραμε καὶ κλίμακες ποὺ συμπίπτουν ἀπὸ ἄλλους θεωρητικούς, καὶ τρόπον τινὰ θεωροῦμε ὅτι παρουσιάσαμε μιὰ ἐναρμονισμένη θεωρία τῶν κλιμάκων τῆς Βυζαντινῆς Μουσικῆς, παραμετροποιημένη μόνο στὴν παράμετρο a=d1/d2 (δὲν θὰ δώσουμε ἐδὼ κλίμακες γιὰ διαφορετικά a ἀπὸ αὐτὰ τοῦ Πίνακα 1).


Τέλος καὶ τῷ Θεῷ δόξα.



Βιβλιογραφία

[1] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Μέθοδος Δημιουργίας Κλιμάκων, ἀνέκδοτη· ὑπὸ συγγραφή (2014).
[2] Μουσικὴ Ἐπιτροπὴ τοῦ Οἰκ. Πατρ. (1881), Στοιχειώδης διδασκαλία τῆς Ἐκκλησιαστικῆς Μουσικῆς - ἐκπονηθεῖσα ἐπὶ τῇ βάσει τοῦ ψαλτηρίου, Κωνσταντινούπολις 1888 (ἀνατύπ. ἐκδ. Κουλτούρα).
[3] Χρυσάνθου τοῦ ἐκ Μαδύτων, Θεωρητικὸν Μέγα τῆς Μουσικῆς, Τεργέστη 1832 (ἀνατύπωσις ἐκδ. Κουλτούρα).
[4] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Ἡ Κλίμακα τοῦ Δευτέρου Ἤχου κατά τόν Χρύσανθο, http://psaltiki.gr/articles/papadimitri ... itriou.pdf (v.0.92, 28/2/2014, 1/3/2014)
[5] Ἀγγέλου Κ. Δεβρελῆ, Βυζαντινὴ Ἐκκλησιαστικὴ Μουσική - Βασικὲς ἔννοιες, Θεσσαλονίκη 1994.
[6] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Ἡ Κλίμακα τοῦ Πλαγίου Δευτέρου Ἤχου κατά τόν Χρύσανθο καὶ τὴν Ἐπιτροπή 1881, http://psaltiki.gr/articles/papadimitri ... itriou.pdf (v. 0.9, 28/2/2014).
[7] Μιχαὴλ Α. Χατζηαθανασίου, Αἱ Βάσεις τῆς Βυζαντινῆς Μουσικῆς, Κωνσταντινούπολη 1948.
[8] Ἀβραὰμ Χ. Εὐθυμιάδη, Μαθήματα Βυζαντινῆς Ἐκκλησιαστικῆς Μουσικῆς, ἔκδ. Δ', Θεσσαλονίκη 1997.
[9] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Διατονικῶν Κλιμάκων μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα), 13/9/2005, http://psaltiki.gr/articles/papadimitri ... 132005.pdf .
[10] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Χρωματικῶν Κλιμάκων τοῦ Νεανὲς μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα), 1/11/2005, http://psaltiki.gr/articles/papadimitri ... 012005.pdf .
[11] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Χρωματικῶν Κλιμάκων τοῦ Νεχεανὲς μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα), 21/11/2005, http://psaltiki.gr/articles/papadimitri ... 112205.pdf .
[12] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Ἐναρμονίων Κλιμάκων μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα), 22/11/2005, http://psaltiki.gr/articles/papadimitri ... 112205.pdf .
[13] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Ἡ Ἐναρμόνιος Κλίμακα κατά τόν Χρύσανθο, ἀνέκδοτη· ὑπὸ συγγραφή (2014).
Δεν έχετε τα απαραίτητα δικαιώματα για να δείτε τα συνημμένα αρχεία σε αυτή τη δημοσίευση.
Μέγα μὲν τὸ ἀπερισπάστως προσεύχεσθαι· μεῖζον δὲ καὶ τὸ ψάλλειν ἀπερισπάστως
Απάντηση

Επιστροφή στο “Μαθηματικά, Μουσική, Ακουστική και Κλίμακες”